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I frattali per rappresentare la complessità della natura

I frattali e l’universo olografico

Grazie alla sezione aurea si sono sviluppate diverse teorie, dall’universo olografico alla geometria dei frattali.

La sezione aurea, di cui abbiamo parlato nell’articolo precedente, è alla base di concetto di “universo olografico”, coniato per la prima volta dal fisico David Bohm. Egli teorizzò, con gli strumenti a disposizione della scienza occidentale, che l’Universo non sia altro che un infinito ologramma, dove ciascuna parte contiene l’informazione del tutto.

Dopo aver tagliato una pellicola olografica in piccoli frammenti, se si proietta l’immagine proveniente da ciascun frammento, si vede che ogni frammento proietta ancora l’immagine che veniva proiettata dall’intera pellicola, solo più sbiadita.

La sezione aurea è anche la base di tutta la geometria frattale.

I frattali

Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse. Ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all’originale.

 Nei frattali, quindi, la stessa struttura si ripete continuamente in scala sempre più piccola, all’infinito, identica o con leggere variazioni.

Ad esempio, in un albero come l’abete è facile notare come ogni singolo rametto riproduca in scala ridotta il proprio ramo e in miniatura l’albero nella sua interezza.

Un altro esempio è rappresentato dalle coste. Le coste, come vediamo nelle cartine geografiche sono molto frastagliate. La loro caratteristica è che la stessa frastagliatura si ripete a tutte le scale.

Geometria frattale

La geometria frattale, fu definita dal matematico Benoit Mandelbrot nel 1975. Oggi viene  usata per descrivere e misurare sistemi un tempo considerati caotici, tra cui le variazioni meteorologiche, la forma delle nubi e delle coste. Certamente potrà avere applicazioni straordinarie nello sviluppo di nuove tecnologie in ogni campo.

Per capire l’importanza delle figure frattali, occorre fare alcune premesse. Galileo Galilei, uno dei più grandi scienziati di tutti i tempi, riteneva che la Matematica fosse una disciplina indispensabile per interpretare i fenomeni naturali e per rappresentare le forme della natura.

La nostra esperienza quotidiana ci induce tuttavia a osservare che le figure geometriche più familiari nello studio della geometria (rette, cerchi, poligoni regolari, …) in natura sono l’eccezione. Raramente in natura gli oggetti hanno forme geometriche regolari. Qual è la forma di un sasso, una nuvola, un albero, una montagna?

I frattali e la complessità della natura

Così nel 1975 Benoit Mandelbrot introdusse i frattali come nuove figure geometriche più efficienti a rappresentare la complessità della natura.

La natura si sviluppa attraverso schemi non geometrici. Le montagne non possono essere definite coni, le nuvole non sono sfere e un fiume non è una semplice linea. La natura, quindi, ha bisogno di un sistema non puramente geometrico per definirsi, ed è quello frattale.

In effetti i frattali sono un nuovo potente linguaggio matematico, grazie al quale è possibile descrivere fenomeni naturali e risolvere problemi della realtà che erano stati un tempo accantonati.

Una curva piana, infatti, si costruisce generalmente sul piano cartesiano, utilizzando una funzione del tipo:

che descrive la posizione del punto sulla curva al variare del tempo.

La costruzione dei frattali, invece, non si basa su di un’equazione, ma su un algoritmo. Ciò significa che si è in presenza di un metodo, non necessariamente numerico, che deve essere utilizzato per disegnare la curva. Inoltre, l’algoritmo non è mai applicato una volta sola, ma la procedura è iterata un numero di volte teoricamente infinito. Dopo un certo numero di iterazioni, l’occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche.

La prima proprietà dei frattali: autosimilarità

Questo ci porta a pensare che potrebbero esistere oggetti che guardati a tutte le scale sono sempre uguali a se stessi, e questa proprietà viene detta autosimilarità.

Consideriamo ad esempio il corpo umano. Anche se i vari organi del corpo umano assolvono a funzioni differenti, la loro struttura frattale consente di comprimere nel minimo spazio grandi capacità di estensione.

La struttura del polmone è simile a quella di un albero. Vi sono tante piccole diramazioni che a un certo punto si fermano. A cosa serve il polmone? Il polmone ci fa arrivare l’ossigeno e più ossigeno si prende, meglio è.

Lo scopo è quindi che la superficie totale di questi ramoscelli debba essere molto ampia, se la andiamo a misurare è uguale a quella di un campo da tennis(70-80 m2 ). La natura ha necessità di avere una grande superficie ma deve riuscire a farla stare nel busto, quindi in un volume molto contenuto. Il modo che la natura ha trovato per ottenere questa cosa è effettuare infinite diramazioni a ogni scala. Queste diramazioni a ogni scala, aumentano la superficie.

La seconda proprietà dei frattali:la dimensione intermedia

Mentre la prima proprietà si intuisce facilmente, la seconda proprietà è più difficile da capire e spiegare. Innanzitutto la dimensione di un oggetto non è univocamente determinata ma dipende dal rapporto tra oggetto ed osservatore. Inoltre la dimensione degli oggetti non è sempre un intero (1,2 o 3 dimensioni).

I frattali non hanno dimensione intera bensì frazionaria.  Hanno dimensione intermedia: questa è la seconda proprietà che li caratterizza.

Ad esempio, un paesaggio frattale costituito da una grande collina coperta da piccoli tumuli sarebbe vicino alla seconda dimensione, mentre una superficie ruvida composta da molte colline di medie dimensioni sarebbe vicina alla terza dimensione.

I frattali più famosi

Il frattale di Mandelbrot è uno dei frattali più popolari, conosciuto anche per le suggestive immagini a colori che ne sono state divulgate. E’ considerato un frattale perché a diverse scale, muovendosi tra infinite increspature, ritroviamo sempre la stessa struttura di partenza.

Ci sono poi il fiocco di neve di Kochla spugna di Menger, il triangolo di Sierpiński, l’isola o curva di Gosper, la curva di Hilbert, la curva del Drago. 

Frattale di Mandelbrot
Frattale di Mandelbrot
Fiocco di neve di Koch
Fiocco di neve di Koch
Curva di Hilbert
Curva di Hilbert
Curva del drago
Curva del drago
triangolo di Sierpiński
triangolo di Sierpiński
Spugna di Menger
Spugna di Menger

La visione interscalare

La geometria dei frattali evolve nella visione interscalare.

La visione interscalare del mondo mostra il collegamento complesso di tutti i processi in tutte le scale dell’universo.

Gli atomi, le cellule viventi, gli organismi, i sistemi planetari o le galassie, sono sempre realizzazioni della stessa matrice.

frattali aurei

scienza e conoscenza

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